今，データ列yi(i=1,...,n)が与えられて，yi=aといったようにiに依存しない値aで表したい．すなわち，
を最小化するaを求めたいわけである．
この解は，Eをaで偏微分して"=0"とおいてaについて解けば求まる．すなわち，
なお，以下が成り立つ．
よって，求めるaは，データ列yiの平均値ということになる．
なお，以下，添え字iを省略する．例えば，Eとaは以下のように表記する．
データ列(x,y)が与えられたときに，以下のEを最小化してaとbを求める問題を考えよう．
Eをa,bそれぞれで偏微分して=0とおくと，
となる．つまり，以下の連立方程式になる．
これを解くと，
となる．
データ列(x,y)が与えられたとき，以下のEを最小化してa,b,cを求める問題を考えよう．
Eをa,b,cそれぞれで偏微分して=0とおいて得られる連立方程式は，
となる．これを解くと，
となる．ここで，
は，
の略である．その他の記号に関しても同様である．
一般の三角関数の場合は，非線形であるため，陽に求めることは（たぶん）できない．Levenberg-Marquardt法などの反復計算で求めるしかない．
周期が既知の三角関数の最小二乗問題は陽に解くことができる．
mを既知として，データ列(x,y)が与えられ，そのデータ列にy=Asinm(x-B)+Cを当てはめたい．そのためにA,B,Cを求めたい．この式をそのまま最小二乗法で解こうとしても，非線形であるため（たぶん）解くことはできない．そこで，以下の三角関数の性質を利用する．
つまり，
の最小２乗問題は解くことができる．そこで，
を最小２乗法で解き，a,b,cを求め，それをA,B,Cに変換すれば良い．
a,b,cは以下の通りになる．
a,b,cからA,B,Cに変換するには，以下のように計算する．
ちょっと待て！本当にこれで求まるのか？位相Bを求めるのに曖昧性があるじゃないか！周期の整数倍を足したり引いたりしたものもBの推定値としてありえるじゃないか！しかも，Bによって，Aの値の正負の曖昧性もあるだろう！線形最小二乗法で安定に解けるはずがない！
・・・とお思いの方も多いかと思います．ご心配なく．その点は問題ありません．この方法でちゃんと安定してパラメータを求めることができます．
この方法のミソは，y=Asinm(x-B)+Cを直接当てはめるのではなく，y=asinmx+bcosmx+cを当てはめることなのです．y=asinmx+bcosmx+cを最小二乗法で解くと，a,b,cが一意に定まります．
では，その証明を示しましょう．知りたいのは以下の事になります．
(1) asinx+bcosx+c=a'sinx+b'cosx+c'
となるa≠a'かb≠b'かc≠c'が存在するか？
もし，これが存在するなら，a,b,cの候補として複数あることになります．すなわち，パラメータを求めるのに曖昧性が存在することになります．(1)を変形すると，
(2) (a-a')sinx+(b-b')cosx+(c-c')=0
となります．第1項と第2項は，前述したように一つの三角関数で表せます．
(3) 
ただし，
sin関数はxに応じて-1～1の値を取るので，全てのxについて(3)を成り立たせるためには，sin関数の係数が0でなければなりません．よって，
(4) 
(5) 
が両方成り立たなければなりません．よって，c=c'となります．また，
(6) (a-a')2+(b-b')2=0
ですが，(a-a')2も(b-b')2も0以上の値であるため，この式を満たすのは，(a-a')2=0かつ(b-b')2=0のときのみです．すなわち，a=a'，b=b'となります．
以上で，a,b,cは一意に求まることが分かりました．a,b,cからA,B,Cを求めるのは，前述した変換式を使います．この変換式では，Aは0以上の値に必ずなります．また，Bは周期に応じた曖昧性がありますが，ユーザの自由に，ユーザの求めたい範囲で，求めることができます．
ちなみに，上の証明ですが，(2)からすぐに，a=a'，b=b'，c=c'が導けます．わざわざ一つの三角関数にしたのは，「もし，cosx=sinx+?みたいな形に変形できたらa,b,cは一意にならないぞ」と思う人がいるかもしれないことを考えてのことです．そのような変形はできないのでご安心を．